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確率の問題がおもしろい!モンティ・ホール問題とは?

      2016/03/16

 - 雑学

モンティ・ホールの問題というものを知っていますか?確率論を利用した心理トリックのような問題なのですが、なかなかおもしろいので今回はそのモンティ・ホールの問題について調べました。

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確率の問題?モンティ・ホールの問題とは?

元ネタはアメリカの長寿番組『Let’s Make a Deal』中に登場したゲーム。
番組司会はモンティ・ホール。問題の名称は彼に由来する。
ゲームルールは以下の通り。

1.プレイヤーの前にはA,B,Cの3つのドアがあり、その奥には当たりが1つ、ハズレが2つ用意されている。
2.プレイヤーがドアを1つ選択する(この時点では開けない)。
3.モンティは正解のドアを把握しており、残された2つのうちハズレのドアを1つ開ける(2つともハズレの場合はランダム)。これはプレイヤーの回答に関わらず必ず行われ、そのことは予めプレイヤーも認識している。
4.モンティは「今なら選択を変更して構いませんよ?」とプレイヤーに問いかける。

さて、このときプレイヤーは最初の選択を変更するべきか、否か。

引用元-ニコニコ大百科

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議論を呼ぶからこそおもしろい

1990年9月9日発行、ニュース雑誌 Parade にて、マリリン・ボス・サヴァントが連載するコラム欄「マリリンにおまかせ」において上記の読者投稿による質問に「正解は『ドアを変更する』である。なぜなら、ドアを変更した場合には景品を当てる確率が2倍になるからだ」と回答した。すると直後から、読者からの「彼女の解答は間違っている」との約1万通の投書が殺到し、本問題は大議論に発展した。

答えをめぐっての騒動

投書には、1000人近い博士号保持者からのものも含まれていた。その大部分は「ドアを変えても確率は五分五分(2分の1)であり、3分の2にはならない」とするものであった。サヴァントは投書への反論を試み、同年12月2日、数通の反論の手紙を紹介した。
・ジョージ・メイソン大学 ロバート・サッチス博士「プロの数学者として、一般大衆の数学的知識の低さに憂慮する。自らの間違いを認める事で現状が改善されます」
・フロリダ大学 スコット・スミス博士「君は明らかなヘマをした(中略)世界最高の知能指数保有者自らが数学的無知をこれ以上世間に広める愚行を直ちに止め、恥を知るように!」
サヴァントは、より簡易にした表を掲載「ドアを変えれば勝てるのは3回の内2回、負けるのは3回の内1回だけ、しかしドアを変えなければ勝てるのは3回の内1回だけ」と述べる。この問題に関する1991年2月17日付、3回目の記事の段階でサヴァントに対する反論は9割程度を占める。
・E・レイ・ボボ博士「(前略)現在、憤懣やるかたない数学者を何人集めれば、貴女の考えを改める事が可能でしょうか?」
「現実が直観と反する時、人々は動揺する」とサヴァントはコラムで反論の声に応じ、下記の説明を試みる。

司会者がドアを開けてみせた直後にUFOがステージに到着して宇宙人が出てきたと仮定する。人間の出場者が最初に選んだ扉を宇宙人は知らずに司会者がまだ開けられていない2つの扉のどちらかを選択するよう宇宙人に勧めると、この時の確率が五分五分になる。しかし、それは宇宙人が本来の出場者が司会者から得たヒントを知らないためである。仮に景品が扉2にある場合司会者は扉3を開ける。扉3に景品がある場合は扉2を開ける。つまり景品が扉2または扉3にあるなら、出場者が扉の選択を変えれば勝利する。『どちらかでも勝てるのです!』でも扉を変えなければ、扉1に賞品がある場合しか勝てないのです。

サヴァントの再再々解説でも大論争へと発展、「彼女こそ間違っている」という感情的なジェンダー問題にまで飛び火した。
アンドリュー・ヴァージョニがモンティーホールジレンマをモンテカルロ法を使って自前のパーソナルコンピュータで数百回のシミュレーションを行うと、結果はサヴァントの答えと一致。ポール・エルデシュは「あり得ない」と主張したしていたがヴァージョニがコンピューターで弾き出した答えを見せられサヴァントが正しかったと認める。しかし、これはゲームの暗黙のルール(後述のゲームのルールを参照)について誤解があったと思われている。後、カール・セーガンら著名人らがモンティーホール問題を解説、サヴァントの答えに反論を行なっていた人々は、誤りを認める。
サヴァントは、「最も高い知能指数を有する者が、子供でもわかる些細な間違いを新聞で晒した」等の数多くの非難に対して3回のコラムをこの問題にあて、激しい反論の攻撃に耐えて持論を擁護し通し、証明した。それによると、ドアの数を100万に増やした例まで挙げて説明しても正しく理解してもらえなかったとのことである。

引用元-ウィキペディア

確率で考える

この質問の問題点は、

 ・最初に選択しているドアをそのまま選ぶのか
 ・もう1つのドアに選択を変えるのか

この2つの場合はどちがのほうが得なのかと言うことがこのモンティ・ホール問題の本質になります。

正解は、もう1つのドアに選択したほうが得です。高級車を当てる確率は倍になります。
モンティ・ホール問題の解説
一見、この問題の答えは外れがわかった時点で残りのドアが2つになりますので、確率は、1/2になったと思う方が多いですし、直感的に考えただけでは、そのように思っていても仕方がありません。

このように直観と実際の確率のずれが生じることが、パラドックスと呼ばれる要因になります。私たちの直観で思うことはこのようなことであり、このように実際よく考えてみればどちらが確率が高いかを説明させられたとしてもなかなか受け入れられないのです。

この問題で重要なのは正解率です。この場合ですと、最初にドアを選択した場面の正解率は、1/3になり、残りのドア2枚の正解率は、2/3になります。

司会者モンティが残りの正解率2/3の2つのドアの1つを開き、ハズレのヤギを見せることにで、残り2つのドアの正解率が2/3でしたので、その状況に変わりはなく、残りのドアの1つに正解率が集中することになります。

このことからも司会者モンティがドアを開いた後は、選択をもう1つのドアに変えたほうが正解率が高いことがわかります。確かに、モンティがドアを開いた後に、選択しているドアを変えるか変えないかをコイントスのようなもので決めると言うのならば、正解確率は1/2になるかもしれません。

しかし、選択してからドアが1つ開くと言うことがポイントになりますから、そのようなの確率で1/2はなく、1/3と2/3の確率になりますので、そのようなただ単に1/2になった訳ではありません。

しかし、もし、単純に考えてそのように間違った解釈をしてしまい正解率が1/2になったとしても、選択を変えたほうがいいことがわかります。

なぜなら、最初の選択の確率では、1/3ですが、ハズレのドアを確認した後の確率は、1/2になります。

1/3で選択する場合と1/2で選択する場合は、正解率が33%と50%になりますので、ハズレのドアが開き、確率が1/2になったとしても33%で選ぶ場合と50%で選ぶ場合は、どちらが高級車を手に入れる確率が高いかは明白です。

引用元-確率思考への転換

確率を使わずに解いてみる

AとBどちらを選ぶ?

では、解説をします。まず、問題に入る前に次のようなシミュレーションをしてみます。

① ドアが3つあります。3つのドアのうち、当たりは1つだけあります。そして、あなたは左端のドアを選びました。(ドアは開けない)

② すると、司会者はドアをAとBのグループに分けました。司会者は「AとBのグループどちらを選びたいですか?」と尋ねます。(図1) あなたはどちらを選びますか? 当然Bのほうですよね。なぜなら、Bだとドアを2つも開けることができるからです。Aでは1つのドアしか開けられません。

これは、至極当然の選択ですが、これがモンティホール問題を理解するための突破口となります。

モンティホールの問題をもう一度考えてみよう
では、先ほどの図を使って、今度はモンティホール問題のほうを考えます。

① プレイヤーはドアを1つ選択する(この時点では開けない)。

② 司会者は、残された2つのうちハズレのドアを1つ開ける。(×マークは外れのドア)

比べてみよう
では、先ほどのシチュエーションの図1とこの時点の図2を比べてみましょう。

図1では、Bの方が当たる確率が高いと当然思ったことでしょう。では、図2の方ではどうでしょうか。よく見ると、図1と図2って、「ドアが開いているか開いていないか」の違いしかありませんよね。ということは、どちらの図もBを選んだ方が当たりやすいのです。

よって、図2の場合は、Bにあるドアを選べば当たる確率が上がります。これはつまり、ドアを変える方が当たる確率が高くなるということなのです。

引用元-アイデア銀行ジャパン

他にもあるおもしろい確率問題

掲示板で出題すると、必ず荒れる五大確率問題

ひとつはモンティホール。残りを紹介しましょう。

●ジョーカーを除いた52枚のトランプから一枚を無作為に取り除く。
その後、残った51枚のトランプから3枚を無作為に引いたところ
3枚ともダイヤであった。
一枚目に取り除いたカードがダイヤである確率は?
(答・・・10/49)

●Aには2人の子供がいることが分かっている。
Aにたずねた「あなたに娘はいますか?」
Aは「はい」と答えた。
このときAのもう一人の子供が息子である確率は?
(答・・・2/3)

●3人の囚人A,B,Cがいる。
このうち2人が明日処刑されることが分かっている。
誰が処刑されるかわからない。
A「俺が処刑される確率は2/3か・・・」
不安に思ったAは看守に尋ねた。
「B,Cのうち一人は確実に処刑されるわけだから、
そのうちどちらが処刑されるかだけでも教えてくれないか?」
看守は「Bだ」と答えた。
Aは思った。「つまり明日処刑される、残る一人はCか俺かの2択だ。
つまり俺が処刑される確率は1/2になった!」
Aの考察は正しいか?
(答・・・正しくない。Aが処刑される確率は2/3、Cは1/3に下がった!)

●2つの封筒A、Bがある。
一方の封筒には他方の封筒の倍の金額のお金が入っている。
そのうちどちらかを選んで自分のものに出来るとしよう。
あなたは封筒Aを選んで、開封した。すると1000円が入っていた。
ここで、封筒をチェンジするべきかどうか?
封筒Bに入っている金額は
半々の確率で2000円、もしくは500円ということになる。
したがって期待値は(1/2)(2000)+(1/2)(500)=1250円
つまりチェンジしたほうが得ということになるが・・・
このジレンマを説明せよ。
(答・・・この問題の条件では期待値は計算できない。)

引用元-YAHOO!知恵袋

まとめ
いかがでしたか?機会があったら解いてみてください。

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